Přejít k obsahu

Státní bakalářská zkouška

Okruhy pro obor Matematická studia

Ze tří předmětů zkoušky (algebra, geometrie, matematická analýza) je jeden předmět určen podle zaměření bakalářské práce studenta, druhý předmět ústní zkoušky si volí student ze dvou předmětů zbývajících.


 

Algebra

  • 1) Vektorový (lineární) prostor - Definice pojmu, příklady vektorových prostorů, počítání ve vektorových prostorech (základní vlastnosti sčítání aritmetických vektorů a vnějšího násobení aritmetických vektorů číslem), lineární kombinace vektorů, lineární obal, podprostor vektorového prostoru, množina generátorů prostoru, lineárně závislá množina vektorů, báze prostoru, dimenze prostoru.
  • 2) Homomorfismy (lineární zobrazení) vektorových prostorů - Definice pojmu, jádro a obraz homomorfismu, základní vlastnosti homomorfismů, typy homomorfismů, skládání homomorfismů, matice homomorfismu.
  • 3) Matice - Definice pojmu, hodnost matice, elementární úpravy matice, ekvivalentní matice, regulární matice, operace s maticemi, čtvercové matice, inverzní matice, matice a homomorfismy.
  • 4) Soustavy lineárních rovnic a determinanty - Definice soustavy lineárních rovnic, typy soustav, řešitelnost soustav, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus; definice determinantu (induktivní nebo pomocí permutací), výpočet determinantu matice 2. a 3. řádu, vlastnosti determinantu, rozvoj determinantu podle řádku, resp. sloupce, užití determinantů.
  • 5) Vektorové (lineární) prostory se skalárním součinem - Definice skalárního součinu, vlastnosti skalárního součinu, příklady vektorových prostorů se skalárním součinem, ortogonální vektory, Gram-Schmidtův ortogonalizační proces, norma vektoru, vlastnosti normy, Cauchy-Schwarzova nerovnost.
  • 6) Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek v oborech integrity - pojem společného dělitele a společného násobku, zavedení největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku, Euklidův algoritmus a jeho využití ke zjištění největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku v oborech integrity (s tím související Euklidova norma v oboru integrity celých čísel (Z, +, ·), Gaussových celých čísel (G, +, ·) a polynomů (T[x], +, ·), dělitelnost Gaussových celých čísel a polynomů, věta Bézoutova, Hornerovo schéma).
  • 7) Relace - Pojem relace, její vlastnosti a způsoby vyjádření (včetně grafických), relace inverzní a doplňková, relace ekvivalence a rozklad na množině, relace uspořádání (lineární x částečné, ostré x neostré), význačné prvky relace uspořádání (prvek nejmenší, minimální, největší, maximální, atom, koatom), relace dobrého uspořádání a matematická indukce, relace zobrazení.
  • 8) Algebraické struktury - Pojem binární operace, její základní vlastnosti (komutativnost, asociativnost, existence neutrálního prvku, agresivního prvku, inverzních prvků, idempotentnost, jednoznačnost dělení) a způsoby vyšetření, pojem algebraické struktury s jednou binární operací a její druhy (grupoid, pologrupa, monoid, grupa), zobrazení algebraických struktur (homomorfismus, izomorfismus), algebraické struktury se dvěma binárními operacemi (polookruh, okruh, obor integrity, těleso).
  • 9) Kongruence a neurčité rovnice - Pojem kongruence a její základní vlastnosti, úplná soustava zbytků a fundamentální úplná soustava zbytků, způsob řešení kongruencí, neurčité rovnice, podmínky a způsoby jejich řešitelnosti, Eulerova číselně-teoretická funkce, pojem lineární kongruence o jedné neznámé, podmínky řešitelnosti a metody řešení (tabulková metoda, Eulerova metoda, metoda rozkladu modulu).

 

Geometrie

  • 1) Afinní bodový prostor. Nositelka a zaměření. Báze a dimenze. Podprostory afinního bodového prostoru. Parametrické rovnice bodového podprostoru - konkretizace pro přímku, (nad)rovinu. Diskuse vzájemné polohy afinních podprostorů (incidence, rovnoběžnost, různoběžnost, mimoběžnost). Svazky a trsy nadrovin.
  • 2) Repér a lineární (afinní) soustava souřadnic. Transformace afinních a kartézských souřadnic. Rovnice translace a otočení kolem počátku, resp. osy.
  • 3) Základní vlastnosti unitárních prostorů. Eukleidovský bodový prostor. Kolmost a totální kolmost eukleidovských podprostorů. Normálový vektor nadroviny.
  • 4) Vzdálenosti eukleidovských podprostorů, speciálně vzdálenost rovnoběžných a mimoběžných podprostorů. Odchylky eukleidovských podprostorů, speciálně odchylky přímek a nadrovin.
  • 5) Geometrická aplikace skalárního násobení. Vektorový a smíšený součin; zobecnění vektorového a smíšeného násobení. Geometrický význam vektorového a smíšeného násobení. Obsah rovnoběžníku a trojúhelníku. Objem rovnoběžnostěnu a simplexu.
  • 6) Jednotný přístup k elipse, parabole a hyperbole pomocí společné množinové definice. Kuželosečky jako řezy na kuželové ploše, klasifikace. Kuželosečky jako kvadratické křivky, klasifikace. Určení kanonické rovnice kuželosečky, geometrický význam. Ohniskové věty regulárních kuželoseček.
  • 7) Rotační kvadriky a obecné regulární kvadriky v základní poloze - definice, vlastnosti, analytické vyjádření. Přímkové kvadriky. Kvadriky jako algebraické plochy druhého stupně. Klasifikace kvadrik, určení kanonické rovnice kvadriky. Kvadriky v technické praxi.
  • 8-a) Pojem křivky, parametrické rovnice, explicitní a implicitní rovnice křivky. Transformace parametru, oblouk křivky jako parametr křivky. Tečna, oskulační rovina a průvodní trojhran křivky. Křivost a torze křivky, Frenetovy vzorce. Dotyk a oskulační kružnice. Evoluta a evolventa křivky. Obálka soustavy křivek.
    8-b) Eukleidovská geometrie. Shodná a podobná zobrazení v eukleidovské rovině. Rozklad shodnosti na souměrnosti. Grupa shodností, grupa podobností. Základní vlastnosti, analytické vyjádření shodností a podobností v reálných a komplexních souřadnicích.
  • 9-a) Pojem plochy, parametrické, explicitní a implicitní rovnice plochy. Křivka na ploše. Tečná rovina a normála plochy. Obálka soustavy ploch. První základní forma plochy. Délka křivky na ploše. Zobrazení a rozvinutí plochy na plochu. Úhel dvou křivek plochy a konformní zobrazení plochy na plochu. Obsah a rovnoploché zobrazení plochy na plochu.
    9-b) Möbiovské rozšíření eukleidovské roviny. Kruhová zobrazení, spec. kruhová inverze - definice, základní vlastnosti, analytické vyjádření v reálných a komplexních souřadnicích. Samodružné útvary. Grupa kruhových transformací.
  • 10-a) Druhá základní forma plochy. Normálová křivost, Meusnierova věta. Dupinova indikatrix a významné směry na ploše. Asymptotické a hlavní křivky. Gaussova a střední křivost plochy. Geodetická křivost, geodetické křivky na ploše.
    10-b) Požadavky na axiomatickou soustavu, Hilbertův poloformální axiomatický systém. Absolutní geometrie, eukleidovská a hyperbolická geometrie. Modely Lobačevského hyperbolické roviny.

 

Matematická analýza

  • 1) Základní pojmy teorie funkcí jedné reálné proměnné (definiční obor, obor funkčních hodnot, funkce sudá a lichá, periodická, omezená, monotónní, funkce inverzní, funkce složená).
  • 2) Limita funkce jedné proměnné. Spojitost funkce v bodě a intervalu. Věty o limitách (součtu, součinu a podílu, o sevřené funkci, složené funkci, L' Hospitalovo pravidlo).
  • 3) Derivace funkce, věty o derivacích. Derivace a spojitost funkce. Užití derivace l. řádu pro rozhodování o monotónnosti a lokálních extrémech.
  • 4) Užití derivace 2. řádu pro rozhodování o lokálních extrémech, poloze grafu vzhledem k tečně, konvexnosti a konkávnosti v intervalu.
  • 5) Primitivní funkce, jejich počet. Základní metody výpočtu primitivní funkce. Určování primitivní funkce k racionálním lomeným funkcím.
  • 6) Riemannova definice určitého integrálu. Newtonova definice určování integrálu. Možnosti užití Riemannovy a Newtonovy definice k výpočtu určitého integrálu.
  • 7) Užití určitého integrálu pro určování obsahu, objemu, délky oblouku a obsahu pláště rotačního tělesa.
  • 8) Posloupnosti reálných čísel a jejich konvergence. Konvergence některých posloupností důležitých v teorii řad. Řady reálných čísel (konvergence řady, součet řady, nutná podmínka konvergence). Důležité řady a jejich konvergence (geometrická, harmonická).
  • 9) Taylorův mnohočlen funkce (motivace, odvození). Taylorova řada. Rozvoj funkce do mocninné řady. Rozvoj základních funkcí, užití k výpočtům.
  • 10) Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic a jejich řešení.

Patička